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映画つながり (4/3)

インターステラーと同じような映画として、
天才数学者ラマヌジャン-「奇蹟がくれた数式」がある。
見てはいないが、次のサイト様で初めて内容に触れた。

天才数学者ラマヌジャン-「奇蹟がくれた数式」を観て:研究員の眼 - ニッセイ基礎研究所 -

公式サイト
映画「奇蹟がくれた数式」 - 角川映画 -

上記の「about The Movie」の末尾付近に、上記サイト様の示した詳しい話も載っている。
「天才数学魔術師 ラマヌジャンの魅力 - 木村俊一 (広島大学大学院理学研究科教授)」

映画の中身はWIREDでも紹介されていて、数学知識のない我々でも理解しやすい形で解説されている。
現代の数学者を悩ませ続ける「100年前の数学の魔術師」シュリニヴァーサ・ラマヌジャン - WIRED

もちろんラマヌジャンがすごいので、その偉業はまだまだ未解析状態だが、Wikipedia経由で偽テータ函数>フェルマーの最終定理>無限降下法とたどり着いた先で、「2の平方根の無理性」の証明というのが、中学生レベルの理解度でもわかる例を挙げれられていて、とても感心した。

2の平方根が無理数(久しぶりでこれさえも忘れていた)であることを、無限降下法(そのイメージを的確に示す例として)で証明する(もちろんWikipediaに載っているが)。

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2の平方根(√2)が有理数(分数で表せる数)と仮定すると、
√2=p/q (p,qは自然数とする)と表せる。

2=(p/q)2
2=p2/q2 (式の優先度は累乗>乗算・除算)
2q2=p2 ・・・(1)
q2=p2/2 (Wikipediaよりさらにわかりやすく追加)
上記の式から、自然数の2乗も自然数だから、q2も自然数で、p2を2で割った結果が自然数という事はp自体が2の倍数(2で割り切れる数:偶数)でなければならない(p2がnの倍数ならpもnの倍数-nが二乗数でない時-)。
では、p=2P (Pは自然数)とすると、(1)の式は、
2q2=4P2
となり、(追加した式に代入してq2=(2P)2/2 → q2=4P2/2 → q2=2P2でもよい)
q2=2P2
となる。
そして(1)と同じ形になったので、さらにqも同じように偶数であり、q=2Qで表すと、
(2Q)2=2P2
4Q2=2P2
2Q2=P2
2=P2/Q2
2=(P/Q)2
∴√2=P/Q

最初の式の√2=p/qと比べて、√2を別のより小さい自然数PとQで、分数として表せる。これを繰り返すと、PとQがいくらでも小さくなってしまう。しかし自然数は無限に小さくはならない(最小の1まで)。つまりPやQが無限に小さくなる事はない。

これは最初の仮定が間違っている事が理由(背理法)である。
背理法 - Wikipedia
(ある命題 P を証明したいときに、P が偽であると仮定して、そこから矛盾を導くことにより、P が偽であるという仮定が誤り、つまり P は真であると結論付けること)

従って、2の平方根は有理数ではなく、無理数である。
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ずいぶん丁寧に書いて逆にWikipediaの方がスッキリと見える。
まあ、こういう自然数の順序性と最小がある点を利用した証明方法が無限降下法というらしい。

それもよく分かったが、√2が無理数だという証明なんてやった事が無く、出来るなんて思ってもみなくて、さらにこんなに簡単だった事に驚いたのだった。

学校教育の場面ではこんな事に一々時間を掛けられないし、それは各自でやってという事かもしれないが、これを学生の頃知っていたら、数学の面白さにハマっていたかもしれない。

こんな些細な驚きで、ラマヌジャンのように数学に没頭する生徒が出てくる可能性があるのだとしたら、何とももったいない話だなあと感じたのであった。

(追記)
背理法で証明する事に異議を唱えている方がいる。
脱背理法教育 - 安部研究室 -
ちょっと見には危ない感じがするが、もっと綺麗に表現すれば納得する。

その方は、まず背理法の前提で、√2=p/qと表せると仮定している部分に誤りが含まれているならば、その途中計算も誤りを含んでいるのだから、式の変形は正しいと保証されないと、主張している。
なるほどー。
確かに間違っている式を変形してもどうなるかわからないな。
なかなか思い至らない事だ。
背理法で証明できるなら、背理法以外で証明する努力をしなくなるという悪癖が蔓延する事をこの方は恐れている。
すると背理法でしか証明できない定理はどうなるんだろうなー。

色んな考えの人がいるものだ。
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by k1segawa | 2017-04-03 22:49 | Comments(0)